두뇌 스트레칭

COMMON MATH 1

곱셈공식 · 인수분해 공식 정리

공통수학1에서 반드시 알아두어야 할 곱셈공식과 인수분해 공식을 한 곳에 정리했습니다. 학생들이 복습하고 암기할 수 있도록 완성본과 암기용 자료로 확장할 예정입니다.

출처 · 자료 제작: 두뇌스트레칭
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1. 곱셈공식

1) (a+b)2=a2+2ab+b21)\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
2) (a−b)2=a2−2ab+b22)\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
3) (a+b)(a−b)=a2−b23)\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2
4) (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab4)\ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
5) (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd5)\ (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
6) (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc6)\ (x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc
7) (x−a)(x−b)(x−c)=x3−(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x−abc7)\ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc
8) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca8)\ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
9) (ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)9)\ (ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)
10) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b310)\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
11) (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b311)\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
12) (a2+ab+b2)(a2−ab+b2)=a4+a2b2+b412)\ (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2b^2+b^4
13) (x2+x+1)(x2−x+1)=x4+x2+113)\ (x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1

2. 인수분해 공식

1) a2+2ab+b2=(a+b)21)\ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
2) a2−2ab+b2=(a−b)22)\ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
3) x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)3)\ x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
4) acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)4)\ acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
5) a2−b2=(a−b)(a+b)5)\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)
6) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)6)\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
7) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)7)\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
8) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)28)\ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
9) a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)9)\ a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
10) x4+x2+1=(x2+x+1)(x2−x+1)10)\ x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
11) a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)11)\ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
12) a3+b3+c3−3abc=12(a+b+c){(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}12)\ a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}

3. 변형공식

1) (a+b)2=(a−b)2+4ab1)\ (a+b)^2=(a-b)^2+4ab
2) (a−b)2=(a+b)2−4ab2)\ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab
3) a2+b2=(a+b)2−2ab3)\ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
4) a2+b2=(a−b)2+2ab4)\ a^2+b^2=(a-b)^2+2ab
5) a2+1a2=(a+1a)2−25)\ a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2
6) a2+1a2=(a−1a)2+26)\ a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+2
7) (a+1a)2=(a−1a)2+47)\ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+4
8) a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)8)\ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
9) a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)9)\ a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)
10) a3+1a3=(a+1a)3−3(a+1a)10)\ a^3+\frac{1}{a^3}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\frac{1}{a}\right)
11) a3−1a3=(a−1a)3+3(a−1a)11)\ a^3-\frac{1}{a^3}=\left(a-\frac{1}{a}\right)^3+3\left(a-\frac{1}{a}\right)
12) a2+b2+c2+ab+bc+ca=12{(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2}12)\ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left\{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\right\}
13) a2+b2+c2−ab−bc−ca=12{(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}13)\ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}
14) a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)14)\ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
15) a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)+3abc15)\ a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc

4. 추가로 알아두면 좋은 공식

1) x5+y5=(x3+y3)(x2+y2)−x2y2(x+y)1)\ x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-x^2y^2(x+y)
2) x7+y7=(x3+y3)(x4+y4)−x3y3(x+y)2)\ x^7+y^7=(x^3+y^3)(x^4+y^4)-x^3y^3(x+y)
3) x6+y6=(x3+y3)2−2(xy)33)\ x^6+y^6=(x^3+y^3)^2-2(xy)^3
4) x6+y6=(x2+y2)3−3(xy)2(x2+y2)4)\ x^6+y^6=(x^2+y^2)^3-3(xy)^2(x^2+y^2)
5) a4−b4=(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)5)\ a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)
6) a5−b5=(a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)6)\ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
7) an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)7)\ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})
8) x4−1=(x−1)(x3+x2+x+1)8)\ x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1)
9) x5−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1)9)\ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
10) xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1)10)\ x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)
11) (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd11)\ (a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
12) (a+b+c+d+e)2=a2+b2+c2+d2+e2+2ab+2ac+2ad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+2ce+2de12)\ (a+b+c+d+e)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+2ab+2ac+2ad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+2ce+2de
13) (a+b+c+d+e+⋯+z)2=a2+b2+c2+d2+e2+⋯+z2+2(ab+ac+ad+⋯+yz)13)\ (a+b+c+d+e+\cdots+z)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+\cdots+z^2+2(ab+ac+ad+\cdots+yz)