COMMON MATH 1

삼차방정식에서 꼭 알아야 할 허근의 성질

삼차방정식에서는 세제곱해서 1이 되는 허근과 세제곱해서 -1이 되는 허근이 자주 등장합니다. 이때 중요한 것은 공식을 단순히 외우는 것이 아니라, 식에서 어떤 성질이 자연스럽게 나오는지 흐름을 이해하는 것입니다.

1. 세제곱해서 1이 되는 허근

x^3=1

먼저 위 식을 인수분해하면 다음과 같습니다.

x^3=1

x^3-1=0

(x-1)(x^2+x+1)=0

따라서 허근은 다음 이차방정식의 두 근입니다.

x^2+x+1=0

이 두 허근을 아래와 같이 둡니다.

\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\quad \overline{\omega}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}

\omega^3=1,\quad \overline{\omega}^{\,3}=1

\omega^2+\omega+1=0,\quad \overline{\omega}^{\,2}+\overline{\omega}+1=0

\omega+\frac{1}{\omega}=-1,\quad \overline{\omega}+\frac{1}{\overline{\omega}}=-1

\omega+\overline{\omega}=-1

\omega\overline{\omega}=1

\omega^2=\overline{\omega}=\frac{1}{\omega}

\overline{\omega}^{\,2}=\omega=\frac{1}{\overline{\omega}}

x^3=-1

이번에는 위 식을 인수분해해봅시다.

x^3=-1

x^3+1=0

(x+1)(x^2-x+1)=0

따라서 허근은 다음 이차방정식의 두 근입니다.

x^2-x+1=0

이 두 허근을 아래와 같이 둡니다.

\omega=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\quad \overline{\omega}=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}

\omega^3=-1,\quad \overline{\omega}^{\,3}=-1

\omega^2-\omega+1=0,\quad \overline{\omega}^{\,2}-\overline{\omega}+1=0

\omega+\frac{1}{\omega}=1,\quad \overline{\omega}+\frac{1}{\overline{\omega}}=1

\omega+\overline{\omega}=1

\omega\overline{\omega}=1

\omega^2=-\overline{\omega}=-\frac{1}{\omega}

\overline{\omega}^{\,2}=-\omega=-\frac{1}{\overline{\omega}}

구분	세제곱해서 1이 되는 허근	세제곱해서 -1이 되는 허근
식만 보고 알 수 있는 것	$\omega^3=1$ $\overline{\omega}^{\,3}=1$ $\omega^2+\omega+1=0$ $\overline{\omega}^{\,2}+\overline{\omega}+1=0$ $\omega+\frac{1}{\omega}=-1$ $\overline{\omega}+\frac{1}{\overline{\omega}}=-1$	$\omega^3=-1$ $\overline{\omega}^{\,3}=-1$ $\omega^2-\omega+1=0$ $\overline{\omega}^{\,2}-\overline{\omega}+1=0$ $\omega+\frac{1}{\omega}=1$ $\overline{\omega}+\frac{1}{\overline{\omega}}=1$
근과 계수의 관계	$\omega+\overline{\omega}=-1$ $\omega\overline{\omega}=1$	$\omega+\overline{\omega}=1$ $\omega\overline{\omega}=1$
위 두 개를 통해 알 수 있는 것	$\omega^2=\overline{\omega}=\frac{1}{\omega}$ $\overline{\omega}^{\,2}=\omega=\frac{1}{\overline{\omega}}$	$\omega^2=-\overline{\omega}=-\frac{1}{\omega}$ $\overline{\omega}^{\,2}=-\omega=-\frac{1}{\overline{\omega}}$

위 공식들을 하나하나 그대로 외우려고 하면 금방 헷갈릴 수 있습니다. 중요한 것은 공식을 통째로 암기하는 것이 아니라, 위처럼 3단계로 나누어 생각하는 것입니다.

첫째, 식만 보고 바로 알 수 있는 기본 성질을 정리하고, 둘째, 근과 계수의 관계로 두 허근의 합과 곱을 확인한 뒤, 셋째, 앞의 성질들을 이용해 추가 관계식을 끌어내는 흐름을 익혀야 합니다.

이렇게 이해해두면 공식을 조금 잊어버리더라도 다시 스스로 만들어낼 수 있습니다. 또한 세제곱의 값이 꼭 1이나 -1이 아니라 8, 27처럼 다른 수로 출제되는 경우에도 같은 방식으로 생각해야 문제를 자연스럽게 풀어낼 수 있습니다.