COMMON MATH 1

꼭 알아야 할 복소수: n주기 복소수

복소수 단원과 삼차·사차방정식에서는 특별한 복소수들을 미리 알아두면 문제 풀이가 훨씬 빨라질 때가 많습니다.

특히 어떤 복소수를 여러 번 곱했을 때 다시 1이 되는 수들은 모의고사와 학교 시험에서 자주 등장합니다. 이런 수들을 미리 익혀두면 복잡한 계산을 반복하지 않고도 빠르게 식을 정리할 수 있습니다.

n주기 복소수란?

쉽게 말해, 어떤 복소수를 계속 곱했을 때 일정한 횟수마다 다시 $1$ 이 되는 복소수를 말합니다.

예를 들어 $z^n=1$ 을 만족하고, 그보다 작은 양의 거듭제곱에서는 처음으로 $1$ 이 되지 않는다면, 이런 복소수를 n주기 복소수로 볼 수 있습니다.

아래 복소수들은 자주 등장하는 대표적인 n주기 복소수입니다.

종류	주기	복소수
세제곱해서 1이 되는 복소수	3주기	$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
네제곱해서 1이 되는 복소수	4주기	$i$ $-i$
여섯제곱해서 1이 되는 복소수	6주기	$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ $\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$
제곱하면 i, 또는 제곱하면 -i가 되는 복소수	8주기	$\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ $\frac{-1+i}{\sqrt{2}}$ $\frac{-1-i}{\sqrt{2}}$ $\frac{1-i}{\sqrt{2}}$
열두제곱해서 1이 되는 복소수	12주기	$\frac{\sqrt{3}+i}{2}$ $\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$ $\frac{-\sqrt{3}-i}{2}$ $\frac{\sqrt{3}-i}{2}$

복소수 문제에서는 계산을 길게 전개하는 것보다, 자주 등장하는 형태를 빠르게 알아보는 것이 중요합니다. 위의 복소수들을 기억해두면 방정식의 해를 확인하거나 복소수의 거듭제곱을 정리할 때 계산 시간을 크게 줄일 수 있습니다.

특히 3주기와 6주기 복소수는 삼차방정식에서 자주 등장하는 오메가 $\omega$ 와 연결되는 개념입니다. 이후 삼차방정식의 해와 $\omega$ 의 성질을 다룰 때 다시 등장하므로, 이 표를 먼저 익혀두면 훨씬 편하게 이해할 수 있습니다.