COMMON MATH 2

함수와 역함수의 교점은 항상 y=x 위에 있을까?

역함수가 존재하는 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭입니다.

그래서 많은 학생들이 함수와 역함수의 교점은 항상 직선 $y=x$ 위에 있다고 생각합니다. 하지만 이것은 항상 참이 아닙니다.

1. 교점이 y=x 위에 있다는 뜻

함수와 역함수의 그래프가 어떤 점에서 만난다고 해봅시다. 그 교점을 다음과 같이 두겠습니다.

(a,b)

이 점이 함수의 그래프 위에 있으므로 다음이 성립합니다.

f(a)=b

또한 이 점이 역함수의 그래프 위에 있으므로 다음이 성립합니다.

f^{-1}(a)=b

두 번째 식은 다시 말하면 다음을 뜻합니다.

f(b)=a

따라서 함수와 역함수의 교점에서는 다음 두 식이 동시에 성립합니다.

f(a)=b,\qquad f(b)=a

함수 $f$ 가 단조증가 함수라고 해봅시다.

만약 $a<b$ 라면 단조증가이므로 다음이 성립해야 합니다.

f(a)<f(b)

그런데 교점 조건에서 $f(a)=b$ 이고 $f(b)=a$ 이므로, 위 부등식은 다음과 같아집니다.

b<a

이는 처음의 $a<b$ 와 모순입니다. 반대로 $a>b$ 라고 해도 같은 방식으로 모순이 생깁니다.

따라서 단조증가 함수에서는 가능한 경우가 오직 하나뿐입니다.

a=b

즉, 단조증가 함수와 그 역함수의 교점은 반드시 직선 $y=x$ 위에 존재합니다.

이번에는 함수 $f$ 가 단조감소 함수라고 해봅시다.

만약 $a<b$ 라면 단조감소이므로 다음이 성립해야 합니다.

f(a)>f(b)

그런데 교점 조건에서 $f(a)=b$ 이고 $f(b)=a$ 입니다. 따라서 위 부등식은 다음과 같아집니다.

b>a

이것은 처음의 $a<b$ 와 모순되지 않습니다.

따라서 단조감소 함수에서는 $a\neq b$ 인 교점이 존재할 수 있습니다. 즉, 함수와 역함수의 교점이 직선 $y=x$ 위에만 존재한다고 말할 수 없습니다.

예를 들어 다음 함수를 생각해봅시다.

f(x)=-x^3

이 함수는 단조감소 함수이고, 역함수는 다음과 같습니다.

f^{-1}(x)=-\sqrt[3]{x}

두 그래프의 교점을 구하면 다음 방정식을 풀면 됩니다.

-x^3=-\sqrt[3]{x}

x^3=\sqrt[3]{x}

이 식을 만족하는 값은 다음과 같습니다.

x=-1,\quad 0,\quad 1

따라서 두 그래프의 교점은 다음 세 점입니다.

(-1,1),\quad (0,0),\quad (1,-1)

이 중에서 $(0,0)$ 은 직선 $y=x$ 위에 있지만, $(-1,1)$ 과 $(1,-1)$ 은 직선 $y=x$ 위에 있지 않습니다.

함수의 종류	함수와 역함수의 교점
단조증가 함수	반드시 직선 $y=x$ 위에 존재
단조감소 함수	직선 $y=x$ 밖에서도 존재 가능

한 줄로 정리하면, 단조증가 함수에서는 함수와 역함수의 교점이 반드시 직선 $y=x$ 위에 있지만, 단조감소 함수에서는 직선 $y=x$ 위에 있지 않은 교점도 생길 수 있습니다. 꼭 그래프를 그려 확인해야합니다.