COMMON MATH 2

집합 4개의 벤다이어그램은 어떻게 그릴까?

집합을 배울 때 벤다이어그램은 매우 익숙한 도구입니다. 집합이 2개나 3개일 때는 원을 이용해 쉽게 그릴 수 있지만, 집합이 4개가 되면 생각보다 그림이 복잡해집니다.

이 글에서는 집합 4개의 벤다이어그램을 어떻게 이해해야 하는지, 그리고 시험에서 어떤 관점으로 바라보면 좋은지 정리해보겠습니다.

1. 집합이 늘어나면 영역도 빠르게 늘어난다

집합이 1개라면 어떤 원소는 그 집합에 들어가거나, 들어가지 않거나 두 가지 경우만 가집니다.

2^1=2

집합이 2개라면 각 원소는 두 집합에 대하여 들어갈지 말지를 각각 선택하게 되므로 최대 4개의 영역이 생길 수 있습니다.

2^2=4

같은 방식으로 집합이 3개라면 최대 8개의 영역, 집합이 4개라면 최대 16개의 영역을 생각해야 합니다.

2^3=8,\qquad 2^4=16

집합 3개까지는 원 3개를 적절히 겹치면 모든 조합을 비교적 자연스럽게 표현할 수 있습니다. 하지만 집합 4개를 원 4개로 그리면 모든 영역을 깔끔하게 나타내기가 어렵습니다.

이유는 단순합니다. 집합 4개에서는 원소가 각각의 집합에 속하는지 아닌지에 따라 최대 16가지 경우가 생기는데, 원 4개만으로 그 모든 경우를 보기 좋게 나누기 어렵기 때문입니다.

따라서 집합 4개의 벤다이어그램은 반드시 “동그란 원 4개”로만 그려야 한다고 생각하면 안 됩니다. 타원이나 곡선을 이용해서 모든 영역이 드러나도록 그리는 것이 더 자연스럽습니다.

아래 그림은 집합 4개의 영역을 한눈에 보기 위한 설명용 그림입니다. 각 영역에 적힌 글자는 그 영역에 속하는 집합을 뜻합니다. 예를 들어 ACD는 A, C, D에는 속하지만 B에는 속하지 않는 영역입니다.

가운데에는 네 집합에 모두 속하는 영역이 있고, 그 주변에는 세 집합에 속하는 영역, 두 집합에 속하는 영역, 한 집합에만 속하는 영역, 그리고 어느 집합에도 속하지 않는 영역이 나타납니다.

시험에서 집합 4개의 벤다이어그램을 직접 예쁘게 그리는 것이 항상 중요한 것은 아닙니다. 더 중요한 것은 집합이 4개일 때 가능한 영역의 수와 원소의 분류 방식을 이해하는 것입니다.

집합 4개가 있으면 각 원소는 A에 속하는지, B에 속하는지, C에 속하는지, D에 속하는지를 각각 판단하게 됩니다.

2\times2\times2\times2=2^4=16

따라서 집합 4개 문제를 볼 때는 “그림을 어떻게 예쁘게 그릴까?”보다 “각 원소가 네 집합에 대해 어떤 포함 상태를 가지는가?”를 먼저 생각하는 것이 좋습니다.