두뇌 스트레칭

COMMON MATH 2

점과 직선 사이의 거리 공식 증명

점과 직선 사이의 거리 공식은 결과만 외우는 경우가 많지만, 왜 그런 형태가 나오는지 이해하면 훨씬 오래 기억할 수 있습니다. 이 페이지에서는 수선의 발을 잡고, 좌표와 기울기 관계를 이용하여 공식을 직접 증명합니다.

출처 · 자료 제작: 두뇌스트레칭

거리 공식

점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리는 다음과 같습니다.

d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

점과 직선 사이의 거리란, 점에서 직선에 내린 수선의 길이를 뜻합니다. 이제 이 공식을 어떻게 얻는지 차근차근 알아보겠습니다.

1. 수선의 발을 잡고 생각하자

점 P(x₁, y₁)에서 직선 ax + by + c = 0에 내린 수선의 발을 H(x, y)라고 두겠습니다.

그러면 점과 직선 사이의 거리는 바로 선분 PH의 길이입니다.

xyax + by + c = 0H(x, y)P(x₁, y₁)PH

점 P(x₁, y₁)에서 직선 ax + by + c = 0에 내린 수선의 발을 H(x, y)라고 두면, 점과 직선 사이의 거리는 선분 PH의 길이로 생각할 수 있습니다.

2. 선분 PH와 직선의 수직 관계를 이용하자

선분 PH를 지나는 직선의 기울기는

y−y1x−x1\frac{y-y_1}{x-x_1}

입니다. 한편 직선 ax + by + c = 0을 기울기 형태로 바꾸면

y=−abx−cby=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}

이므로, 그 기울기는

−ab-\frac{a}{b}

입니다. 또 선분 PH는 직선 ax + by + c = 0에 수직이므로, 두 직선의 기울기의 곱은 -1입니다.

y−y1x−x1⋅(−ab)=−1\frac{y-y_1}{x-x_1}\cdot\left(-\frac{a}{b}\right)=-1

이를 정리하면

b(y−y1)=a(x−x1)b(y-y_1)=a(x-x_1)

따라서

x−x1=ak,y−y1=bkx-x_1=ak,\qquad y-y_1=bk

가 되고, 이 공통된 값을 k라고 두면

x=x1+ak,y=y1+bkx=x_1+ak,\qquad y=y_1+bk

3. 점 H(x, y)는 직선 위의 점이다

수선의 발 H(x, y)는 직선 ax + by + c = 0 위의 점이므로

ax+by+c=0ax+by+c=0

입니다. 여기에 앞에서 얻은 식을 대입하면

a(x1+ak)+b(y1+bk)+c=0a(x_1+ak)+b(y_1+bk)+c=0ax1+a2k+by1+b2k+c=0ax_1+a^2k+by_1+b^2k+c=0(a2+b2)k+ax1+by1+c=0(a^2+b^2)k+ax_1+by_1+c=0

따라서

k=−ax1+by1+ca2+b2k=-\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}

4. 이제 선분 PH의 길이를 구하자

점과 직선 사이의 거리는 선분 PH의 길이이므로

PH=(x−x1)2+(y−y1)2PH=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}

앞에서 얻은 관계를 이용하면

PH=(ak)2+(bk)2PH=\sqrt{(ak)^2+(bk)^2}=a2k2+b2k2=\sqrt{a^2k^2+b^2k^2}=(a2+b2)k2=\sqrt{(a^2+b^2)k^2}

여기서 학생들이 자주 헷갈리는 부분이 있습니다. k2=∣k∣\sqrt{k^2}=|k| 는 그냥 k가 아니라 항상 |k|가 됩니다. 제곱근 기호는 0 이상인 값을 뜻하기 때문입니다.

k2=∣k∣\sqrt{k^2}=|k|
(−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3

따라서

PH=∣k∣a2+b2PH=|k|\sqrt{a^2+b^2}

이고, 여기에 k의 값을 대입하면

PH=∣ax1+by1+c∣a2+b2PH=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

가 됩니다.

정리

따라서 점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리는

d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

로 정리됩니다.