두뇌 스트레칭

CALCULUS 1

적분이 왜 그래프의 넓이와 연결되는가

적분은 단순히 공식을 계산하는 기술처럼 보이기 쉽지만, 본래는 그래프 아래 넓이를 다루는 아이디어와 깊게 연결되어 있습니다. 이 페이지에서는 넓이 함수 S(x)S(x) 를 정의하고, 그 도함수가 원래 함수f(x)f(x) 와 같아진다는 사실을 이용해 적분과 넓이의 관계를 설명합니다.

출처 · 자료 제작: 두뇌스트레칭

1. 넓이 함수 S(x)를 정의하자

함수 f(x)f(x) 가 연속이고,f(x)≥0f(x)\ge 0라고 하자. 고정된 수 aa 를 잡고,

S(x)=a부터 x까지 그래프 y=f(t) 와 x-축으로 둘러싸인 부분의 넓이S(x)=\text{a부터 x까지 그래프 } y=f(t)\text{ 와 }x\text{-축으로 둘러싸인 부분의 넓이}

라고 정의하자. 즉 S(x)S(x) 는 왼쪽 끝aa 에서 시작해서 오른쪽 끝이xx 일 때까지 쌓인 넓이이다.

xyaxy = f(t)S(x)

왼쪽 경계 x=ax=a 부터 오른쪽 경계 x=xx=x 까지, 그래프 y=f(t)y=f(t) 아래에 쌓인 넓이를 S(x)S(x) 로 정의합니다.

2. S(x + Δx) - S(x)의 뜻

그러면

S(x+Δx)−S(x)S(x+\Delta x)-S(x)

는 aa부터 x+Δxx+\Delta x까지의 넓이에서 aa부터 xx까지의 넓이를 뺀 것이므로, 결국

x부터 x+Δx까지의 좁은 띠 모양 부분의 넓이x\text{부터 }x+\Delta x\text{까지의 좁은 띠 모양 부분의 넓이}

가 된다. 이제 이 좁은 부분의 넓이를 생각해보자.

3. 그 좁은 부분은 직사각형 넓이 사이에 끼인다

Δx>0\Delta x>0 라고 하자.

구간 [x, x+Δx][x,\ x+\Delta x] 에서ff 의 최솟값을 mm, 최댓값을 MM 라고 하면

m≤f(t)≤Mm\le f(t)\le M

이다.

그러면 xx부터x+Δxx+\Delta x까지의 그래프 아래 넓이는 높이가 항상 mm 인 직사각형 넓이보다는 크거나 같고, 높이가 항상 MM 인 직사각형 넓이보다는 작거나 같다.

mΔx≤S(x+Δx)−S(x)≤MΔxm\Delta x\le S(x+\Delta x)-S(x)\le M\Delta x
m≤S(x+Δx)−S(x)Δx≤Mm\le \frac{S(x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x}\le M

4. Δx → 0으로 보내자

Δx\Delta x 가 0에 가까워지면 구간[x, x+Δx][x,\ x+\Delta x] 는 점점xx 한 점에 가까워진다.

함수 ff 가 연속이므로 이 구간에서의 최솟값mm 과 최댓값 MM 은 둘 다f(x)f(x) 에 가까워진다. 즉

m→f(x),M→f(x)m\to f(x),\qquad M\to f(x)
lim⁡Δx→0S(x+Δx)−S(x)Δx=f(x)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x}=f(x)

이다. 그런데 이것은 바로 도함수의 정의이므로

S′(x)=f(x)S'(x)=f(x)

결론

넓이 함수 S(x)S(x) 를

S(x)=a부터 x까지의 넓이S(x)=\text{a부터 x까지의 넓이}

라고 잡으면,

S′(x)=f(x)S'(x)=f(x)

가 된다.

즉, 넓이를 쌓아서 만든 함수의 변화율은 그 순간의 높이와 같다. 그래서 거꾸로 말하면, f(x)f(x) 를 높이로 하는 넓이를 계속 쌓아가면 그 넓이 함수의 도함수가 다시f(x)f(x) 가 된다는 뜻이다. 이것이 적분과 넓이가 연결되는 핵심이다.