CALCULUS 1

극한의 엄밀한 정의: 입실론-델타를 쉽게 이해하기

함수의 극한을 처음 배울 때, 우리는 보통 “ $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 $f(x)$ 가 $L$ 에 가까워진다”라고 말합니다.

그런데 이 말은 조금 애매합니다. “가까워진다”는 말을 수학적으로 정확하게 쓰려면 어떻게 해야 할까요? 그 답이 바로 입실론-델타 정의입니다.

이 글에서는 대학 수학에서 배우는 입실론-델타 정의를 고등학생도 이해할 수 있도록 직관부터 차근차근 정리해보겠습니다.

1. 극한의 직관적인 표현

우리가 고등학교에서 처음 배우는 극한의 표현은 다음과 같습니다.

\lim_{x\to a} f(x)=L

이 말은 보통 이렇게 읽습니다.

$x$ 가 $a$ 에 가까워질수록 $f(x)$ 는 $L$ 에 가까워진다.

이 설명은 직관적으로는 좋지만, “얼마나 가까워져야 가까워진 것인가?”라는 질문에는 아직 답하지 못합니다.

입실론-델타 정의에서는 먼저 함수값 $f(x)$ 가 $L$ 에 얼마나 가까워야 하는지 목표를 정합니다. 이 목표 오차를 $\varepsilon$ 이라고 부릅니다.

|f(x)-L|<\varepsilon

이 부등식은 $f(x)$ 와 $L$ 의 차이가 $\varepsilon$ 보다 작다는 뜻입니다. 즉, 함수값이 $L$ 주변의 아주 좁은 범위 안에 들어오라는 요구입니다.

$\varepsilon$ 은 “함수값의 허용 오차”라고 생각하면 됩니다.

이제 목표가 정해졌습니다. 함수값을 $L$ 에 $\varepsilon$ 만큼 가까이 보내야 합니다.

그러려면 $x$ 를 $a$ 에 얼마나 가까이 가져가야 할까요? 이때 필요한 $x$ 의 허용 범위를 $\delta$ 라고 부릅니다.

0<|x-a|<\delta

이 부등식은 $x$ 가 $a$ 와는 다르지만, $a$ 에 $\delta$ 보다 가까이 있다는 뜻입니다.

$\delta$ 는 “x값의 허용 범위”라고 생각하면 됩니다.

이제 두 가지 부등식을 연결하면 극한의 엄밀한 정의가 됩니다.

0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon

이 말은 다음과 같습니다.

원하는 만큼 작은 오차 $\varepsilon$ 을 먼저 정하더라도, 그 오차 안에 함수값이 들어오도록 만드는 $x$ 의 범위 $\delta$ 를 찾을 수 있다.

이게 바로 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 이라는 말의 엄밀한 뜻입니다.

\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0\ \text{such that}\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

기호가 어렵게 보이지만, 핵심은 “어떤 작은 오차를 요구해도 그에 맞는 x의 범위를 잡을 수 있다”는 뜻입니다.

예를 들어 다음 극한을 생각해봅시다.

\lim_{x\to 3}2x=6

입실론-델타 방식으로 말하면, $2x$ 가 $6$ 에 $\varepsilon$ 보다 가까워지게 만들고 싶습니다.

|2x-6|<\varepsilon

왼쪽을 정리하면 다음과 같습니다.

|2x-6|=2|x-3|

따라서 $2|x-3|<\varepsilon$ 이 되려면 충분히 다음 조건을 잡으면 됩니다.

|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}

즉, 이 예시에서는 다음처럼 잡을 수 있습니다.

\delta=\frac{\varepsilon}{2}

그러면 $0<|x-3|<\delta$ 일 때 자동으로 $|2x-6|<\varepsilon$ 이 됩니다.

정의에서 $0<|x-a|<\delta$ 라고 쓰는 이유는, 극한이 $x=a$ 에서의 함수값 자체를 보는 개념이 아니기 때문입니다.

극한은 $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 주변에서 함수값이 어디로 가는지를 보는 개념입니다. 그래서 $x=a$ 인 경우는 제외하고, $a$ 의 주변에서만 판단합니다.

이 때문에 함수값 $f(a)$ 가 존재하지 않아도 극한값은 존재할 수 있습니다.

기호	의미
$\varepsilon$	함수값 $f(x)$ 가 극한값 $L$ 에서 벗어나도 되는 허용 오차입니다.
$\delta$	$x$ 를 $a$ 에 얼마나 가까이 잡아야 하는지를 나타내는 허용 범위입니다.
$\lim_{x\to a}f(x)=L$	어떤 작은 $\varepsilon$ 을 요구해도, 그 요구를 만족시키는 $\delta$ 를 찾을 수 있다는 뜻입니다.

한 줄로 정리하면, 입실론-델타 정의는 “함수값을 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있도록, x값을 충분히 가깝게 잡을 수 있다”는 말을 수학적으로 정확하게 쓴 것입니다.