CALCULUS 1

닫힌구간에서 함수의 연속은 어떻게 판단할까?

함수의 연속을 처음 배울 때는 보통 한 점에서의 연속을 먼저 배웁니다. 그런데 이후에는 $[a,b]$ 와 같은 닫힌구간에서 연속이라는 표현도 자주 등장합니다.

여기서 헷갈리는 질문이 생깁니다. 닫힌구간의 양 끝에서는 한쪽 방향이 없는데, 어떻게 연속이라고 말할 수 있을까요?

이 질문은 다음 순서로 생각하면 자연스럽게 해결됩니다.

STEP 1

연속의 정의

STEP 2

극한값 존재의 의미

STEP 3

닫힌구간 끝점의 의미

1. 연속의 정의

함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이라는 것은 다음 세 가지가 모두 성립한다는 뜻입니다.

① 함수값이 존재한다

$x=a$ 를 함수에 넣었을 때 함수값이 있어야 합니다.

f(a)\text{가 존재한다.}

② 극한값이 존재한다

$x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 $f(x)$ 가 하나의 값으로 가까워져야 합니다.

\lim_{x\to a} f(x)\text{가 존재한다.}

③ 극한값과 함수값이 같다

\lim_{x\to a} f(x)=f(a)

f(x)\text{가 }x=a\text{에서 연속}\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a}f(x)=f(a)

단, 이 말은 함수값과 극한값이 모두 존재한다는 것을 포함합니다.

2. 극한값이 존재한다는 뜻

$x$ 가 $a$ 로 가까워지는 방법은 두 가지가 있습니다. 왼쪽에서 가까워지는 경우와 오른쪽에서 가까워지는 경우입니다.

좌극한

\lim_{x\to a^-} f(x)

우극한

\lim_{x\to a^+} f(x)

극한값 $\lim_{x\to a} f(x)$ 가 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 두 값이 같아야 합니다.

\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)

\lim_{x\to a} f(x)\text{가 존재}\quad\Longleftrightarrow\quad\text{좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같다.}

3. 닫힌구간의 끝점에서는 왜 한쪽만 볼까?

함수 $f(x)=x$ 를 닫힌구간 $[1,2]$ 에서만 생각해봅시다. 즉, 이 함수는 $1\le x\le 2$ 인 범위에서만 정의되어 있다고 보는 것입니다.

f(x)=x\quad (1\le x\le 2)

이때 $x=1$ 에서 연속인지 판단하려고 하면 문제가 생기는 것처럼 보입니다. 왜냐하면 1의 왼쪽에는 이 구간의 원소가 없기 때문입니다.

왼쪽 끝점

$x<1$ 인 값들은 $[1,2]$ 에 포함되지 않습니다.

오른쪽 끝점

$x>2$ 인 값들은 $[1,2]$ 에 포함되지 않습니다.

따라서 닫힌구간에서 연속을 말할 때는 구간 안에서 접근할 수 있는 방향만 확인합니다.

4. 구간의 양 끝에서는 한쪽 극한만 확인한다

닫힌구간 $[a,b]$ 에서 함수가 연속이라고 말하려면 다음 세 가지를 확인합니다.

① 구간 내부에서는 보통의 연속

구간 내부의 점에서는 왼쪽과 오른쪽이 모두 구간 안에 있습니다. 따라서 보통의 연속 조건을 확인합니다.

\lim_{t\to x} f(t)=f(x)\quad (a<x<b)

② 왼쪽 끝점에서는 우극한

왼쪽 끝점 $a$ 에서는 구간 안에서 오른쪽으로만 접근할 수 있습니다.

\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)

이것을 a에서 우연속이라고 합니다.

③ 오른쪽 끝점에서는 좌극한

오른쪽 끝점 $b$ 에서는 구간 안에서 왼쪽으로만 접근할 수 있습니다.

\lim_{x\to b^-} f(x)=f(b)

이것을 b에서 좌연속이라고 합니다.

5. 예시: f(x)=x는 [1,2]에서 연속일까?

함수 $f(x)=x$ 를 닫힌구간 $[1,2]$ 에서 생각해봅시다.

① 구간 내부

$1<x<2$ 인 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=x$ 는 끊어짐 없이 이어져 있으므로 연속입니다.

② 왼쪽 끝점 x=1

$x=1$ 에서는 오른쪽에서만 접근하면 됩니다.

\lim_{x\to 1^+} f(x)=1

f(1)=1

\lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1)

따라서 $x=1$ 에서 연속입니다.

③ 오른쪽 끝점 x=2

$x=2$ 에서는 왼쪽에서만 접근하면 됩니다.

\lim_{x\to 2^-} f(x)=2

f(2)=2

\lim_{x\to 2^-} f(x)=f(2)

따라서 $x=2$ 에서도 연속입니다.

결국 $f(x)=x$ 는 닫힌구간 $[1,2]$ 에서 연속입니다.

핵심 정리

함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이라는 것은 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 라는 뜻입니다. 또한 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 같아야 합니다.

하지만 닫힌구간에서 연속을 판단할 때, 구간의 양 끝점에서는 한쪽 방향이 정의역에 포함되지 않습니다. 따라서 $[a,b]$ 에서 연속이라는 말은 다음 세 가지가 모두 성립한다는 뜻입니다.

위치	확인할 조건
$(a,b)$ 내부	좌극한과 우극한이 같고, 그 값이 함수값과 같아야 합니다.
왼쪽 끝점 $a$	오른쪽에서 접근하는 우극한만 확인합니다. $\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$
오른쪽 끝점 $b$	왼쪽에서 접근하는 좌극한만 확인합니다. $\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$

[a,b]\text{에서 연속}=(a,b)\text{에서 연속}+a\text{에서 우연속}+b\text{에서 좌연속}

한 줄로 정리하면, 닫힌구간의 끝점에서는 구간 안쪽에서 다가오는 한쪽 극한만 확인합니다.

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