ALGEBRA

자연수의 합, 제곱의 합, 세제곱의 합 공식 증명

아래에서는 대수에서 자주 쓰이는 세 가지 합 공식을 차례대로 증명합니다. 결과만 외우는 것이 아니라, 왜 그런 식이 나오는지를 따라가며 이해할 수 있도록 정리했습니다.

출처 · 자료 제작: 두뇌스트레칭

먼저 기억할 공식

1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

합을 $S$ 라고 두고, 같은 식을 거꾸로 한 번 더 써서 더하면 규칙이 잘 드러납니다.

S=1+2+3+\cdots+(n-1)+n

S=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1

2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\cdots+(n-1+2)+(n+1)

2S=n(n+1)

S=\frac{n(n+1)}{2}

각 괄호의 값이 모두 $n+1$ 이고, 그런 항이 $n$ 개 있다는 점이 핵심입니다.

이번에는 다음 식을 이용합니다.

(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1

이제 $k=1,2,3,\cdots,n$ 을 차례로 대입합니다.

2^3-1^3=3\cdot1^2+3\cdot1+1

3^3-2^3=3\cdot2^2+3\cdot2+1

4^3-3^3=3\cdot3^2+3\cdot3+1

\vdots

(n+1)^3-n^3=3\cdot n^2+3\cdot n+1

이 식들을 모두 더하면 가운데 항들이 지워지면서 다음과 같이 됩니다.

(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+(1+1+\cdots+1)

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+n

여기서 이미 구한 $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 을 대입합니다.

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+\frac{3n^2+3n}{2}+n

3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)=n^3+3n^2+2n-\frac{3n^2+3n}{2}

3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)=\frac{2n^3+3n^2+n}{2}

3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}

1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

이번에는 다음 식을 이용합니다.

(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1

마찬가지로 $k=1,2,3,\cdots,n$ 을 차례로 대입합니다.

2^4-1^4=4\cdot1^3+6\cdot1^2+4\cdot1+1

3^4-2^4=4\cdot2^3+6\cdot2^2+4\cdot2+1

4^4-3^4=4\cdot3^3+6\cdot3^2+4\cdot3+1

\vdots

(n+1)^4-n^4=4\cdot n^3+6\cdot n^2+4\cdot n+1

이 식들을 모두 더하면 다음을 얻습니다.

(n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+4(1+2+3+\cdots+n)+(1+1+\cdots+1)

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+4(1+2+3+\cdots+n)+n

여기서 앞에서 얻은 두 공식을 대입합니다.

1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n

n^4+4n^3+6n^2+4n=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)+(2n^3+3n^2+n)+(2n^2+2n)+n

n^4+4n^3+6n^2+4n=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)+2n^3+5n^2+4n

4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)=n^4+2n^3+n^2

4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)=n^2(n+1)^2

1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2