ALGEBRA

지수함수의 공역은 무엇일까?

지수함수를 배울 때 정의역, 치역, 공역을 구분해서 생각하는 것이 중요합니다. 특히 지수함수와 로그함수를 역함수 관계로 이해하려면, 공역을 어떻게 잡아야 하는지까지 함께 생각해야 합니다.

이 글에서는 다음 지수함수를 기준으로 정의역, 치역, 공역을 차례대로 정리해보겠습니다.

y=a^x\quad (a>0,\ a\ne 1)

1. 지수함수의 정의역

지수함수에서는 $x$ 에 모든 실수를 넣을 수 있습니다. 따라서 정의역은 실수 전체입니다.

\text{정의역}=\{x\mid x\text{는 실수}\}

즉, 지수함수는 $x$ 값에 어떤 실수를 넣어도 함수값이 정해집니다.

지수함수의 값 $a^x$ 는 항상 양수입니다.

a^x>0

따라서 지수함수에서 실제로 나올 수 있는 $y$ 값은 0보다 큰 수뿐입니다. 그러므로 치역은 다음과 같습니다.

\text{치역}=\{y\mid y>0\}

지수함수의 그래프는 x축 아래로 내려가지 않고, $y=0$ 에도 닿지 않습니다.

여기서 가장 조심해야 할 점은 치역과 공역이 다르다는 것입니다.

함수식에 의해 실제로 나오는 값들의 집합입니다.

함수가 값을 보내기로 미리 정해 둔 도착 집합입니다.

지수함수의 치역은 반드시 다음과 같습니다.

\{y\mid y>0\}

하지만 공역은 치역을 포함하기만 하면 여러 가지로 정할 수 있습니다. 예를 들어 공역을 실수 전체로 정할 수도 있습니다.

\text{공역}=\{y\mid y\text{는 실수}\}

이 경우에도 실제로 나오는 값은 양수뿐이므로 치역은 여전히 다음과 같습니다.

\text{치역}=\{y\mid y>0\}

반대로 공역을 처음부터 양수 전체로 정할 수도 있습니다.

\text{공역}=\{y\mid y>0\}

이 경우에는 공역과 치역이 같아집니다.

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계라고 배웁니다.

y=a^x

y=\log_a x

지수함수의 역함수가 로그함수라는 말은, 지수함수에서 $x$ 값과 $y$ 값의 역할을 서로 바꾸면 로그함수가 된다는 뜻입니다.

그런데 역함수가 존재하려면 원래 함수가 일대일대응이어야 합니다. 지수함수는 서로 다른 $x$ 값에 대해 서로 다른 $y$ 값을 가지므로 일대일 함수입니다.

하지만 일대일 함수라는 사실만으로는 부족합니다. 공역 안의 모든 값이 실제로 나와야 일대일대응이 됩니다.

만약 지수함수의 공역을 실수 전체로 정하면, 공역 안에는 0이나 음수도 들어갑니다. 하지만 지수함수의 값은 항상 양수이므로 0이나 음수에는 절대로 도달하지 못합니다.

따라서 공역을 실수 전체로 잡으면 지수함수는 일대일대응이 아니므로, 로그함수를 역함수로 정확하게 정의하기 어렵습니다.

지수함수의 역함수를 로그함수라고 말하려면, 지수함수의 공역을 치역과 같게 잡아야 합니다.

\text{공역}=\{y\mid y>0\}

그러면 지수함수의 실제 함수값들이 공역 전체를 빠짐없이 채우게 됩니다. 따라서 지수함수는 실수 전체의 원소들을 양수 전체의 원소들과 하나씩 대응시키는 일대일대응이 됩니다.

\{x\mid x\text{는 실수}\}\longrightarrow\{y\mid y>0\}

이때 역함수가 존재하고, 그 역함수가 바로 로그함수입니다.

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이므로, 정의역과 치역이 서로 바뀝니다.

\text{정의역}=\{x\mid x\text{는 실수}\}

\text{치역}=\{y\mid y>0\}

\text{정의역}=\{x\mid x>0\}

\text{치역}=\{y\mid y\text{는 실수}\}

구분	내용
정의역	$\{x\mid x\text{는 실수}\}$
치역	$\{y\mid y>0\}$
공역	공역은 치역을 포함하도록 정할 수 있습니다. 예를 들어 $\{y\mid y\text{는 실수}\}$ 또는 $\{y\mid y>0\}$ 으로 잡을 수 있습니다.
역함수를 생각할 때	지수함수의 역함수를 로그함수라고 말하려면 공역을 $\{y\mid y>0\}$ 으로 잡아야 합니다.

한 줄로 정리하면, 지수함수의 치역은 항상 $\{y\mid y>0\}$ 이고, 역함수를 생각할 때 공역도 $\{y\mid y>0\}$ 으로 잡아야 합니다.