ALGEBRA

상용로그의 정수부분은 무엇을 의미할까?

상용로그의 정수부분은 수의 크기를 자릿수로 읽게 해주는 중요한 정보입니다. 특히 큰 수의 자릿수나 아주 작은 소수의 위치를 판단할 때 매우 유용하게 쓰입니다.

상용로그는 밑이 10인 로그입니다.

\log N=\log_{10}N

\log N=x\quad \Longleftrightarrow \quad 10^x=N

따라서 상용로그는 어떤 수 $N$ 이 10의 몇 제곱쯤 되는지를 알려줍니다.

1. N이 1보다 크거나 같을 때

예를 들어 다음과 같은 상황을 생각해봅시다.

\log N=3.27\cdots

이때 정수부분은 3이므로 다음 부등식이 성립합니다.

3\le \log N<4

로그를 지수 형태로 바꾸면 다음과 같습니다.

10^3\le N<10^4

1000\le N<10000

따라서 $N$ 은 네 자리 수입니다.

일반적으로 $\log N$ 의 정수부분이 $n$ 이면 다음이 성립합니다.

10^n\le N<10^{n+1}

$\log N$ 의 정수부분이 $n$ 이면, $N$ 은 $n+1$ 자리 수입니다.

이번에는 다음과 같은 수를 생각해봅시다.

N=0.0047

이 수는 다음 범위에 있습니다.

0.001\le 0.0047<0.01

10^{-3}\le N<10^{-2}

따라서 로그를 취하면 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

-3\le \log N<-2

그러므로 $\log N$ 의 정수부분은 $-3$ 입니다. 이때 $0.0047$ 은 소수점 아래 셋째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나옵니다.

일반적으로 $\log N$ 의 정수부분이 $-n$ 이면 다음이 성립합니다.

10^{-n}\le N<10^{-n+1}

$\log N$ 의 정수부분이 $-n$ 이면, $N$ 은 소수점 아래 $n$ 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나옵니다.

여기서 주의할 점이 있습니다. 음수의 정수부분은 단순히 소수점 아래를 버린 값이 아닙니다.

예를 들어 $-2.43$ 의 정수부분은 $-2$ 가 아니라 $-3$ 입니다.

-3\le -2.43<-2

정수부분은 그 수보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 정수로 생각하면 됩니다.

조건	정수부분의 의미	알 수 있는 것
$N\ge 1$	$\log N$ 의 정수부분 = $n$	$10^n\le N<10^{n+1}$ 이므로 $N$ 은 $n+1$ 자리 수입니다.
$0<N<1$	$\log N$ 의 정수부분 = $-n$	$10^{-n}\le N<10^{-n+1}$ 이므로 소수점 아래 $n$ 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나옵니다.

한 줄로 정리하면, 상용로그의 정수부분은 수의 크기를 자릿수로 읽게 해주는 정보입니다.